Найдите углы выпуклого семиугольника, если они относятся как 3:4:4:4:5:5:5.

Решение:

Сумма внутренних углов выпуклого семиугольника равна \( (7-2) \cdot 180^{\circ} = 5 \cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} \).

Пусть углы относятся как \( 3x, 4x, 4x, 4x, 5x, 5x, 5x \).

Сумма этих частей равна:

\( 3x + 4x + 4x + 4x + 5x + 5x + 5x = 30x \).

Приравниваем сумму частей к общей сумме углов:

\( 30x = 900^{\circ} \)
\( x = \frac{900^{\circ}}{30} = 30^{\circ} \).

Теперь найдём величину каждого угла:

• Первый угол: \( 3x = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ} \)
• Второй, третий, четвёртый углы: \( 4x = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ} \)
• Пятый, шестой, седьмой углы: \( 5x = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ} \)

Проверка: \( 90^{\circ} + 3 \cdot 120^{\circ} + 3 \cdot 150^{\circ} = 90^{\circ} + 360^{\circ} + 450^{\circ} = 900^{\circ} \).

Ответ: 90°, 120°, 120°, 120°, 150°, 150°, 150°.