Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 60°; б) 120°.

Решение:

Для выпуклого n-угольника каждый угол равен \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \). Если каждый угол равен \( \alpha \), то \( n \cdot \alpha = (n-2) \cdot 180^{\circ} \).

1. а) 60°
   \( n \cdot 60^{\circ} = (n-2) \cdot 180^{\circ} \)
   \( 60n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 60n = 360 \)
   \( 120n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{120} = 3 \).
   Многоугольник имеет 3 стороны (треугольник). Однако, для выпуклого многоугольника каждый угол должен быть меньше 180°. В данном случае, если бы он существовал, то сумма углов была бы \( 3 \times 60^{\circ} = 180^{\circ} \), что соответствует формуле \( (3-2) \times 180^{\circ} = 180^{\circ} \). Но стандартно под многоугольником понимают фигуру с числом сторон не менее 3, и углы могут быть как угодно малы, но не равны 0 или 180. Так как мы ищем выпуклый многоугольник, то углы должны быть меньше 180°. В данном случае, n=3, что означает треугольник. Но у равностороннего треугольника каждый угол равен 60°, что соответствует условию.
2. б) 120°
   \( n \cdot 120^{\circ} = (n-2) \cdot 180^{\circ} \)
   \( 120n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 120n = 360 \)
   \( 60n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{60} = 6 \).
   Многоугольник имеет 6 сторон (шестиугольник).

Ответ: а) 3 стороны; б) 6 сторон.