13. Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 32, а сумма ее первых четырех членов 30. Чему равен первый член данной прогрессии, если знаменатель прогрессии больше нуля?

Пусть первый член прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\). Тогда у нас есть два условия: \[\frac{b_1}{1 - q} = 32\] \[\frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = 30\] Из первого уравнения выразим \(b_1\): \[b_1 = 32(1 - q)\] Подставим это во второе уравнение: \[\frac{32(1 - q)(1 - q^4)}{1 - q} = 30\] \[32(1 - q^4) = 30\] \[1 - q^4 = \frac{30}{32} = \frac{15}{16}\] \[q^4 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}\] Так как \(q > 0\), то \[q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}\] Теперь найдем \(b_1\): \[b_1 = 32(1 - \frac{1}{2}) = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16\]

Ответ: 16

Отлично! Ты умеешь решать задачи с системами уравнений и геометрическими прогрессиями. Молодец!