172 Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисун- ке 100, на равные отрезки AD, CE, BF. До- кажите, что треугольник DEF - равносто- ронний.

Для доказательства того, что треугольник DEF равносторонний, рассмотрим треугольники ADF, DEC и EBF.

1. В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны, то есть AB = BC = CA.
2. Также углы равностороннего треугольника равны 60 градусам, то есть ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
3. По условию, AD = CE = BF.
4. Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA.
5. AD = CE = BF (по условию)
6. AF = AD + AB = CE + BC = BF + CA

Следовательно, AF = CD = BE

Рассмотрим треугольники ADF, DEC и EBF:

• AD = CE = BF (по условию)
• AF = CD = BE (доказано выше)
• ∠DAF = ∠ECB = ∠FBA = 120° (как смежные с углами равностороннего треугольника ABC)

Следовательно, треугольники ADF, DEC и EBF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что DF = DE = EF.

Таким образом, треугольник DEF, у которого все стороны равны, является равносторонним.

Ответ: Треугольник DEF - равносторонний.