171 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О, точки М и N – середины отрез- ков АС и BD. Докажите, что точка О – се- редина отрезка МN.

Пусть отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является их общей серединой. M - середина AC, N - середина BD.

Докажем, что точка O - середина MN.

1. Так как O - середина AB, то AO = OB.
2. Так как O - середина CD, то CO = OD.
3. Так как M - середина AC, то AM = MC.
4. Так как N - середина BD, то BN = ND.

Рассмотрим отрезки OM и ON.

OM = AO - AM = (1/2)AB - (1/2)AC

ON = BO - BN = (1/2)AB - (1/2)BD

Так как AO = OB и CO = OD, то AC = BD (по условию задачи). Значит, OM = ON. Это означает, что точка O является серединой MN.

Ответ: Точка O – середина отрезка МN.