170 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К, так, что АК = ВК1. Докажите, что: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на пря- мой КК1.

а) Докажем, что OK = OK₁.

1. Так как О - середина АВ и CD, то АО = ОВ и CO = OD.
2. Рассмотрим треугольники АОК и ВОК₁.

• АО = ОB (О - середина AB)
• ∠AOK = ∠BOK₁ (вертикальные углы)
• AK = BK₁ (по условию)

Следовательно, треугольники АОК и ВОК₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что OK = OK₁.

б) Докажем, что точка О лежит на прямой КК₁.

Так как треугольники АОК и ВОК₁ равны, то ∠AKO = ∠BK₁O.

Сумма смежных углов равна 180°. Если ∠AKO = ∠BK₁O, то углы AKK₁ и BK₁K смежные.

Так как ∠AKO = ∠BK₁O, то ∠AKK₁ + ∠BK₁K = 180°.

Это означает, что точки K, O и K₁ лежат на одной прямой.

Следовательно, точка О лежит на прямой КК₁.

Ответ: a) OK = OK₁; б) точка О лежит на прямой КК₁.