Контрольные задания > 169 На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, ВЕ И CF, как показано на рисунке 99. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF - равносторонний. 170 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К₁ так, что АК = ВК1. Докажите, что: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на пря- мой КК 1.
Вопрос:

169 На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, ВЕ И CF, как показано на рисунке 99. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF - равносторонний. 170 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К₁ так, что АК = ВК1. Докажите, что: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на пря- мой КК 1.

Ответ:

169.
  1. Так как треугольник ABC равносторонний, то $$AB = BC = CA$$, и углы $$A, B, C$$ равны $$60\deg$$.
  2. По условию, $$AD = BE = CF$$. Тогда $$BD = AB - AD = CE = BC - BE = AF = CA - CF$$.
  3. Рассмотрим треугольники ADF, BED и CFE. В них $$AD = BE = CF$$, $$AF = BD = CE$$, а углы между этими сторонами равны $$60\deg$$. Следовательно, треугольники ADF, BED и CFE равны по двум сторонам и углу между ними.
  4. Из равенства треугольников ADF, BED и CFE следует равенство сторон $$DF = ED = FE$$.
  5. Таким образом, в треугольнике DEF все стороны равны, значит, он равносторонний.
170.
  1. а) Рассмотрим треугольники AOK и BOK₁. Так как O – середина AB и CD, то $$AO = BO$$, $$CO = DO$$.
  2. По условию, $$AK = BK_1$$. Тогда $$OK = AK - AO$$ и $$OK_1 = BO - BK_1$$. Следовательно, $$OK = OK_1$$.
  3. б) Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO, CO = DO, углы AOC и BOD вертикальные). Следовательно, углы CAO и DBO равны.
  4. Так как $$AK = BK_1$$, то углы AKO и BK₁O равны. Следовательно, точки K, O и K₁ лежат на одной прямой.
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю