1. Рис. 857. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МК; б) РЕ: NK; в) SMEP: SMKN-

а) Т.к. $$ PE || NK $$, то $$ \triangle MPE \sim \triangle MNK $$ по двум углам (угол M общий, $$ \angle MEP = \angle MKN $$ как соответственные углы при параллельных прямых $$ PE $$ и $$ NK $$ и секущей $$ MN $$).

$$ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} $$.

$$ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} $$.

$$ MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 $$.

б) $$ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$.

$$ PE : NK = 2 : 3 $$.

в) Т.к. $$ \triangle MPE \sim \triangle MNK $$, то коэффициент подобия равен: $$ k = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$.

$$ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$.

$$ S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9 $$.

Ответ: а) $$ MK = 9 $$; б) $$ PE : NK = 2 : 3 $$; в) $$ S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9 $$.