3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках МиК соответственно так, что МК || AC, BM: AM1: 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Дано: $$ \triangle ABC $$, прямая пересекает стороны $$ AB $$ и $$ BC $$ в точках $$ M $$ и $$ K $$ соответственно, $$ MK || AC $$, $$ BM : AM = 1 : 4 $$, $$ P_{ABC} = 25 $$ см.

Найти: $$ P_{BMK} $$.

Т.к. $$ MK || AC $$, то $$ \triangle BMK \sim \triangle BAC $$ по двум углам (угол B - общий, $$ \angle BMK = \angle BAC $$ как соответственные углы при параллельных прямых $$ MK $$ и $$ AC $$ и секущей $$ AB $$).

$$ BM : AM = 1 : 4 $$, значит, $$ AM = 4x, BM = x $$.

Тогда $$ AB = AM + BM = 4x + x = 5x $$.

$$ \Rightarrow \frac{BM}{BA} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5} $$.

Т.к. $$ \triangle BMK \sim \triangle BAC $$, то $$ \frac{BM}{BA} = \frac{MK}{AC} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{5} $$.

$$ P_{BMK} = BM + MK + BK $$

$$ P_{ABC} = AB + AC + BC $$

$$ \frac{P_{BMK}}{P_{BAC}} = \frac{BM}{BA} = \frac{MK}{AC} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{5} $$.

$$ P_{BMK} = \frac{P_{ABC}}{5} = \frac{25}{5} = 5 $$ см.

Ответ: 5 см.