Решите уравнение \(\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1\)

Решение:

Для решения уравнения \(\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1\) необходимо учесть два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 17 + 2x - 3x^2 \ge 0 \).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень неотрицателен: \( x + 1 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \ge -1 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( 17 + 2x - 3x^2 = (x + 1)^2 \)

\( 17 + 2x - 3x^2 = x^2 + 2x + 1 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 0 = x^2 + 3x^2 + 2x - 2x + 1 - 17 \)

\( 0 = 4x^2 - 16 \)

\( 4x^2 = 16 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \)

Теперь проверим полученные корни на соответствие условиям:

1. Для \( x = 2 \):
• \( x \ge -1 \) \( \Rightarrow \) \( 2 \ge -1 \) (верно)
• \( 17 + 2(2) - 3(2)^2 = 17 + 4 - 12 = 9 \ge 0 \) (верно)
• Проверка в исходном уравнении: \( \sqrt{9} = 2 + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3 = 3 \) (верно)
2. Для \( x = -2 \):
• \( x \ge -1 \) \( \Rightarrow \) \( -2 \ge -1 \) (неверно)

Таким образом, подходит только \( x = 2 \).

Ответ: x = 2