Найдите корни уравнения \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\)

Решение:

Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 10y + 9 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \)

Найдём корни \( y \):

\( y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 3^x \):

1. \( 3^x = 9 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 3^2 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \)

2. \( 3^x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 3^0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \)

Ответ: x = 0, x = 2