Исследуйте функцию \(y = x^3 - 3x + 1\) на монотонность и экстремумы.

Исследование функции \(y = x^3 - 3x + 1\)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \), то есть \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
2. Найдём производную функции:
• \( y' = (x^3 - 3x + 1)' \)
• \( y' = 3x^2 - 3 \)
3. Найдём критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует):
• \( 3x^2 - 3 = 0 \)
• \( 3x^2 = 3 \)
• \( x^2 = 1 \)
• \( x = \pm 1 \)
4. Определим знаки производной на интервалах:
• Интервал \( (-\infty; -1) \): Возьмём \( x = -2 \). \( y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
• Интервал \( (-1; 1) \): Возьмём \( x = 0 \). \( y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). На этом интервале функция убывает.
• Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмём \( x = 2 \). \( y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
5. Определим точки экстремума:
• В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума.
• \( y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \).
• В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума.
• \( y_{min} = y(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \).

Вывод:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \).
• Функция убывает на интервале \( [-1; 1] \).
• Точка максимума: \( (-1; 3) \).
• Точка минимума: \( (1; -1) \).