Решите уравнение 2(sin x)² + 3 cos x = 0

Давай решим это тригонометрическое уравнение вместе! \(2(\sin x)^2 + 3\cos x = 0\) Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) Выразим \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\): \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) Подставим это в исходное уравнение: \(2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0\) Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: \(2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0\) Умножим обе части уравнения на -1, чтобы изменить знаки: \(2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0\) Сделаем замену переменной: пусть \(t = \cos x\). Тогда уравнение примет вид: \(2t^2 - 3t - 2 = 0\) Теперь решим это квадратное уравнение относительно t. Можем воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Давай найдем дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\) Теперь найдем корни уравнения: \(t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\) \(t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\) Так как \(t = \cos x\), мы имеем два случая: 1) \(\cos x = 2\) Этот случай невозможен, так как значение косинуса всегда находится в пределах от -1 до 1. 2) \(\cos x = -\frac{1}{2}\) Чтобы найти x, решим уравнение \(\cos x = -\frac{1}{2}\). Мы знаем, что косинус равен -1/2 в точках \(\frac{2\pi}{3}\) и \(\frac{4\pi}{3}\) на единичной окружности. Следовательно, общее решение имеет вид: \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: x = ±(2π/3) + 2πk, где k ∈ Z

Ты отлично справился с этим тригонометрическим уравнением! Так держать, и все обязательно получится!