11. Решите уравнение: \(2 \cdot 9^x - 17 \cdot 3^x = 9\)

Уравнение: \(2 \cdot 9^x - 17 \cdot 3^x = 9\). Заметим, что \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2\). Пусть \(y = 3^x\), тогда уравнение примет вид: \(2y^2 - 17y = 9\). Перенесем все в одну сторону: \(2y^2 - 17y - 9 = 0\). Решим это квадратное уравнение. \(D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4(2)(-9) = 289 + 72 = 361\) \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{361}}{4} = \frac{17 + 19}{4} = \frac{36}{4} = 9\) \(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{361}}{4} = \frac{17 - 19}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\) Теперь решим уравнения \(3^x = 9\) и \(3^x = -\frac{1}{2}\). Для \(3^x = 9\), получаем \(x = 2\), так как \(3^2 = 9\). Для \(3^x = -\frac{1}{2}\), решения нет, так как показательная функция всегда положительна. Ответ: \(x = 2\)