Решите систему уравнений: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ \log_2 x = \log_2 3 - \log_2 y \end{cases} \)

Решение:

1. Преобразуем второе уравнение системы:

\[ \log_2 x = \log_2 3 - \log_2 y \]

Используя свойство логарифма \( \log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N} \), получаем:

\[ \log_2 x = \log_2 \frac{3}{y} \]

Из равенства логарифмов с одинаковым основанием следует:

\[ x = \frac{3}{y} \]

2. Выразим \( x \) через \( y \) (при условии \( y > 0 \) и \( x > 0 \) из области определения логарифмов):

\[ x = \frac{3}{y} \]

3. Подставим это выражение в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 10 \):

\[ \left(\frac{3}{y}\right)^2 + y^2 = 10 \]

\[ \frac{9}{y^2} + y^2 = 10 \]

4. Умножим обе части уравнения на \( y^2 \) (при условии \( y
e 0 \), что уже учтено \( y>0 \)):

\[ 9 + y^4 = 10y^2 \]

\[ y^4 - 10y^2 + 9 = 0 \]

5. Сделаем замену переменной: пусть \( z = y^2 \). Тогда уравнение примет вид квадратного:

\[ z^2 - 10z + 9 = 0 \]

6. Решим квадратное уравнение для \( z \):

\[ (z - 1)(z - 9) = 0 \]

Следовательно, \( z_1 = 1 \) и \( z_2 = 9 \).

7. Вернёмся к замене \( z = y^2 \):

• Если \( z_1 = 1 \), то \( y^2 = 1 \). Так как \( y > 0 \), то \( y_1 = 1 \).
• Если \( z_2 = 9 \), то \( y^2 = 9 \). Так как \( y > 0 \), то \( y_2 = 3 \).

8. Теперь найдём соответствующие значения \( x \) из соотношения \( x = \frac{3}{y} \):

• При \( y_1 = 1 \): \( x_1 = \frac{3}{1} = 3 \).
• При \( y_2 = 3 \): \( x_2 = \frac{3}{3} = 1 \).

9. Проверим полученные пары \( (x, y) \) на соответствие области определения логарифмов ( \( x>0 \) и \( y>0 \)). Обе пары \( (3, 1) \) и \( (1, 3) \) удовлетворяют этим условиям.

Ответ: \( (3; 1) \) и \( (1; 3) \).