3. Вычислите предел функции: \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^5+x-3}{4x^5-8} \)

Решение:

Чтобы вычислить предел функции при \( x \to \infty \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), то есть на \( x^5 \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^5+x-3}{4x^5-8} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^5}{x^5} + \frac{x}{x^5} - \frac{3}{x^5}}{\frac{4x^5}{x^5} - \frac{8}{x^5}} \]

\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^4} - \frac{3}{x^5}}{4 - \frac{8}{x^5}} \]

Поскольку при \( x \to \infty \) все дроби вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( n > 0 \)) стремятся к нулю, получаем:

\[ = \frac{1 + 0 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \).