4. Материальная точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 15t + 13 \) (где \( x \) — расстояние от точки отсчета в метрах, \( t \) — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени \( t = 3 \) с.

Решение:

Скорость материальной точки \( v(t) \) является производной от закона движения \( x(t) \) по времени \( t \).

1. Найдём производную функции \( x(t) \):

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 15t + 13\right) \]

\[ v(t) = -\frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 2 \cdot 2t + 15 \]

\[ v(t) = -t^2 + 4t + 15 \]

2. Теперь подставим значение \( t = 3 \) с в полученную формулу скорости:

\[ v(3) = -(3)^2 + 4(3) + 15 \]

\[ v(3) = -9 + 12 + 15 \]

\[ v(3) = 3 + 15 = 18 \]

Ответ: 18 м/с.