5. Решите неравенство (х – 1) (3x-5) < 1.

5. Решим неравенство $$(х – 1) (3x-5) < 1$$.

$$3x^2 - 5x - 3x + 5 < 1$$

$$3x^2 - 8x + 5 < 1$$

$$3x^2 - 8x + 4 < 0$$

Решим квадратное уравнение $$3x^2 - 8x + 4 = 0$$.

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$$

$$x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Решим методом интервалов:

Интервалы:

$$(-\infty; \frac{2}{3})$$, $$(\frac{2}{3}; 2)$$, $$(2; +\infty)$$.

Подставим значения:

$$x = 0$$: $$3 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 + 4 = 4 > 0$$

$$x = 1$$: $$3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 + 4 = 3 - 8 + 4 = -1 < 0$$

$$x = 3$$: $$3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 > 0$$

Значит, решение: $$\frac{2}{3} < x < 2$$.

Ответ: $$(\frac{2}{3}; 2)$$