Решите неравенство \(\frac{2x^2-20x+50}{x+9} \leq 0\).

Пошаговое решение:

1. Найдем корни числителя: \[ 2x^2 - 20x + 50 = 0 \] Разделим на 2: \( x^2 - 10x + 25 = 0 \). Это полный квадрат: \( (x - 5)^2 = 0 \). Корень числителя: \( x = 5 \). (Это корень кратности 2, поэтому знак выражения при переходе через него не меняется).
2. Найдем корень знаменателя: \[ x + 9 = 0 \] Корень знаменателя: \( x = -9 \). (Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка \( x = -9 \) будет выколотой).
3. Определим знаки на интервалах: Нанесем корни на числовую прямую: -9 и 5. Рассмотрим интервалы: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 5) \), \( (5, \infty) \). - Возьмем пробную точку из \( (-\infty, -9) \), например, \( x = -10 \): \[ \frac{2(-10)^2 - 20(-10) + 50}{-10 + 9} = \frac{2(100) + 200 + 50}{-1} = \frac{200 + 200 + 50}{-1} = \frac{450}{-1} = -450 \] Выражение отрицательное.
4. - Возьмем пробную точку из \( (-9, 5) \), например, \( x = 0 \): \[ \frac{2(0)^2 - 20(0) + 50}{0 + 9} = \frac{50}{9} \] Выражение положительное.
5. - Возьмем пробную точку из \( (5, \infty) \), например, \( x = 6 \): \[ \frac{2(6)^2 - 20(6) + 50}{6 + 9} = \frac{2(36) - 120 + 50}{15} = \frac{72 - 120 + 50}{15} = \frac{2}{15} \] Выражение положительное.
6. Запишем решение: Нам нужно, чтобы выражение было \(\leq 0\). Это выполняется на интервале \( (-\infty, -9) \). Также, так как числитель равен нулю при \( x = 5 \), и неравенство нестрогое, \( x = 5 \) входит в решение.

Ответ: \( (-\infty, -9) \cup \{5\} \)