7. Решите неравенство: \((x-2)(x^2-6x+9)\sqrt{x^2-1} \leq 0\)

Решаем неравенство: \[(x-2)(x^2-6x+9)\sqrt{x^2-1} \leq 0\] \[(x-2)(x-3)^2\sqrt{x^2-1} \leq 0\] Выражение \((x-3)^2\) всегда неотрицательно. Значит, надо рассмотреть два случая: 1) \(x-2 \leq 0\) и \(\sqrt{x^2-1} \geq 0\) \[x \leq 2\] \(x^2 - 1 \geq 0\) \(\Rightarrow\) \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\) 2) \(\sqrt{x^2-1} = 0\) \(x^2 - 1 = 0\) \(\Rightarrow\) \(x = \pm 1\) Таким образом, возможные значения \(x\): \(x \leq -1\), \(x = 1\), \(x = 2\). Однако, нужно также учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x^2 - 1 \geq 0\), следовательно, \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)\). Рассмотрим интервалы: 1) \(x \in (-\infty; -1]\): подходит 2) \(x = -1\): подходит 3) \(x \in (-1; 1)\): не подходит, так как \(\sqrt{x^2-1}\) не определен 4) \(x = 1\): подходит 5) \(x \in [1; 2]\): подходит 6) \(x = 2\): подходит 7) \(x > 2\): не подходит, так как \((x-2) > 0\) и \((x-3)^2 > 0\) и \(\sqrt{x^2-1} > 0\), а значит, произведение будет больше нуля. Итого, решение: \[x \in (-\infty; -1] \cup [1; 2]\]

Ответ: A) (-∞;-1]∪[1;2]∪{3;∞) - Этот ответ содержит ошибку, так как x=3 не является решением. Правильный ответ: A) (-∞;-1]∪[1;2]

Проверка за 10 секунд: Решили неравенство с учетом ограничений.

Доп. профит: Редфлаг! Всегда учитывай ОДЗ при решении неравенств с корнями. Это поможет избежать ошибок и получить правильный ответ.