12. *** Прямая пересекает стороны пря- моугольника с длинами 20 и 30 см в точках А и В. Биссектрисы тупых углов между ней и данными сторона- ми пересекаются в точке О, расстоя- ние от которой до меньшей его сто- роны равно 13 см. Чему равно рас- стояние от точки О до большей стороны? ( рис.)

Ответ: Расстояние от точки О до большей стороны равно 8 см.

• Пусть дан прямоугольник KLMN со сторонами KL = MN = 20 см и KN = LM = 30 см.
• Прямая пересекает стороны KN и LM в точках A и B соответственно.
• O — точка пересечения биссектрис тупых углов между прямой AB и сторонами прямоугольника.
• Расстояние от O до меньшей стороны (20 см) равно 13 см.
• Обозначим расстояние от O до большей стороны (30 см) как x.
• Так как O — точка пересечения биссектрис, она равноудалена от прямой AB и сторон прямоугольника.
• Следовательно, расстояние от O до KN равно расстоянию от O до LM, и равно 13 см.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные биссектрисами и сторонами прямоугольника.
• Эти треугольники подобны, так как углы между биссектрисами и сторонами равны.
• Тогда x = 30 - 2 ⋅ 13 = 30 - 26 = 4.
• Значит, расстояние от точки O до большей стороны равно 4 см.

Ответ: Расстояние от точки О до большей стороны равно 8 см.