10. Медиана ВМ треугольника АВС образует со стороной АС острый угол АМВ. Докажите, что АВ < BC.

Ответ: АВ < BC

• Продлим медиану ВМ за точку М на отрезок MD, равный ВМ.
• Тогда AM = MC и BM = MD.
• Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• В параллелограмме AB = CD.
• Угол AMB острый, следовательно, угол CMD тоже острый (вертикальные углы).
• Тогда угол BMC тупой (смежный с острым углом AMB).
• В треугольнике BCD против тупого угла BMC лежит сторона CD, а против острого угла CDM лежит сторона BC.
• Следовательно, CD < BC.
• Так как AB = CD, то AB < BC.

Ответ: АВ < BC