7. / ★☆☆ Серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и CD пересекаются в единственной точке М. Докажите, что если АС = BD, то равны углы АМС и BMD.

Ответ: Углы AMC и BMD равны.

• Пусть M — точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD.
• Тогда AM = BM и CM = DM, так как точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.
• Дано, что AC = BD.
• Рассмотрим треугольники AMC и BMD:
• AM = BM
• CM = DM
• AC = BD
• Следовательно, треугольники AMC и BMD равны по трём сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AMC = ∠BMD.

Ответ: Углы AMC и BMD равны.