1012 Проверьте, что точки М, (0;1), М2 M 4 √31 2)' 2 1√3 2 M √2√2 2 2 A (1; 0), B (−1;0) лежат на единичной полу- окружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, AOM2, AOM3, AOM 4, АОВ.

1012.

Проверим, что точки лежат на единичной полуокружности. Для этого нужно убедиться, что координаты точек удовлетворяют уравнению окружности $$x^2 + y^2 = 1$$, и что координата $$y$$ неотрицательна.

• $$M_1(0;1)$$: $$0^2 + 1^2 = 1$$. $$y = 1 > 0$$.
• $$M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$$: $$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$. $$\frac{\sqrt{3}}{2} > 0$$.
• $$M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$$: $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$$. $$\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$$.
• $$M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$$: $$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$$. $$\frac{1}{2} > 0$$.
• $$A(1;0)$$: $$1^2 + 0^2 = 1$$. $$y = 0 \geqslant 0$$.
• $$B(-1;0)$$: $$(-1)^2 + 0^2 = 1$$. $$y = 0 \geqslant 0$$.

Точки лежат на единичной полуокружности.

Выпишем значения синуса, косинуса и тангенса углов:

• $$\angle AOM_1 = 90^\circ$$; $$\sin 90^\circ = 1$$, $$\cos 90^\circ = 0$$, $$\tan 90^\circ$$ - не существует.
• $$\angle AOM_2 = 60^\circ$$; $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$.
• $$\angle AOM_3 = 45^\circ$$; $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\tan 45^\circ = 1$$.
• $$\angle AOM_4 = 150^\circ$$; $$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
• $$\angle AOB = 180^\circ$$; $$\sin 180^\circ = 0$$, $$\cos 180^\circ = -1$$, $$\tan 180^\circ = 0$$.

Ответ: Значения синуса, косинуса и тангенса указаны выше.