При увеличении радиуса круговой орбиты спутника в 4 раза, частота его обращения вокруг планеты уменьшится в 8 раз.

Решение:

Для спутника на круговой орбите сила гравитации является центростремительной силой:

• \[ G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R} \]

Где M — масса планеты, m — масса спутника, R — радиус орбиты, v — скорость спутника.

Скорость спутника:

• \[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

Период обращения:

• \[ T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi R}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \]

Частота обращения ($$f$$) связана с периодом:

• \[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \]

Если радиус орбиты увеличится в 4 раза ($$R' = 4R$$):

• \[ f' = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{GM}{(4R)^3}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{GM}{64R^3}} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \right) = \frac{1}{8} f \]

Частота уменьшится в 8 раз.