. Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм². Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \pi r l \).

Площадь основания \( S_{осн} = \pi r^2 \).

По условию \( S_{полн} = 45\pi \) дм².

Развертка боковой поверхности — это сектор с углом \( \alpha = 60° \). Радиус сектора — образующая конуса \( l \).

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса \( C = 2\pi r \).

Формула длины дуги сектора: \( C = \frac{\alpha}{360°} 2\pi l \).

\( 2\pi r = \frac{60°}{360°} 2\pi l \)

\( 2\pi r = \frac{1}{6} 2\pi l \)

\( r = \frac{1}{6} l \implies l = 6r \).

Теперь подставим \( l = 6r \) в формулу полной поверхности:

\( S_{полн} = \pi r^2 + \pi r (6r) = \pi r^2 + 6\pi r^2 = 7\pi r^2 \).

По условию \( S_{полн} = 45\pi \) дм².

\( 7\pi r^2 = 45\pi \)

\( r^2 = \frac{45}{7} \) дм².

\( r = \sqrt{\frac{45}{7}} = 3\sqrt{\frac{5}{7}} \) дм.

Найдем образующую \( l \):

\( l = 6r = 6 3\sqrt{\frac{5}{7}} = 18\sqrt{\frac{5}{7}} \) дм.

Теперь найдём высоту конуса \( h \) по теореме Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - r^2} \).

\( h = \sqrt{(6r)^2 - r^2} = \sqrt{36r^2 - r^2} = \sqrt{35r^2} = r\sqrt{35} \).

\( h = \sqrt{35} \sqrt{\frac{45}{7}} = \sqrt{\frac{35 45}{7}} = \sqrt{5 45} = \sqrt{225} = 15 \) дм.

Объем конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

\( V = \frac{1}{3}\pi \frac{45}{7} 15 = \frac{1}{3}\pi \frac{675}{7} = \pi \frac{225}{7} \) дм³.

Ответ: \( \frac{225\pi}{7} \) дм³