4. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем конуса, если его высота равна Н.

Решение:

Высота конуса \( h = H \).

Диаметр основания \( d = 2r \).

По условию \( h = d \), значит \( H = 2r \).

Отсюда радиус основания \( r = \frac{H}{2} \).

Объем конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Подставим значения \( r \) и \( h \):

\( V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 H = \frac{1}{3}\pi \frac{H^2}{4} H = \frac{1}{12}\pi H^3 \).

Ответ: \( \frac{1}{12}\pi H^3 \).