5. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Решение:

Пусть \( l \) — образующая конуса, \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

По условию \( l = 13 \) см.

Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника с катетами \( h \) и \( r \) и гипотенузой \( l \), умноженной на 2. Осевое сечение — это равнобедренный треугольник, стороны которого равны \( l, l \) и \( 2r \), а высота равна \( h \).

Площадь осевого сечения \( S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot 2r h = r h \).

По условию \( S_{ос} = 60 \) см².

Значит, \( r h = 60 \).

Также для конуса справедливо соотношение: \( l^2 = r^2 + h^2 \).

Подставим \( l = 13 \): \( 13^2 = r^2 + h^2 \), то есть \( 169 = r^2 + h^2 \).

У нас есть система уравнений:

1. \( rh = 60 \)
2. \( r^2 + h^2 = 169 \)

Из первого уравнения выразим \( h = \frac{60}{r} \) и подставим во второе:

\( r^2 + (\frac{60}{r})^2 = 169 \)

\( r^2 + \frac{3600}{r^2} = 169 \)

Умножим обе части на \( r^2 \):

\( r^4 + 3600 = 169 r^2 \)

\( r^4 - 169 r^2 + 3600 = 0 \)

Сделаем замену \( x = r^2 \).

\( x^2 - 169 x + 3600 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-169)^2 - 4 1 3600 = 28561 - 14400 = 14161 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119 \).

\( x_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144 \)

\( x_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

Так как \( x = r^2 \), то:

\( r^2 = 144 \implies r = 12 \) см (так как радиус не может быть отрицательным).

Или \( r^2 = 25 \implies r = 5 \) см.

Если \( r = 12 \) см, то \( h = \frac{60}{12} = 5 \) см. Проверим \( r^2 + h^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \). Это подходит.

Если \( r = 5 \) см, то \( h = \frac{60}{5} = 12 \) см. Проверим \( r^2 + h^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \). Это тоже подходит.

Для объема конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Случай 1: \( r = 12 \) см, \( h = 5 \) см.

\( V = \frac{1}{3}\pi (12)^2 5 = \frac{1}{3}\pi 144 5 = \pi 48 5 = 240\pi \) см³.

Случай 2: \( r = 5 \) см, \( h = 12 \) см.

\( V = \frac{1}{3}\pi (5)^2 12 = \frac{1}{3}\pi 25 12 = \pi 25 4 = 100\pi \) см³.

Обычно в задачах находят единственный ответ, поэтому, возможно, есть дополнительное условие, которое мы упустили или не видим. Если предположить, что образующая 13 см, а катеты прямоугольного треугольника (радиус и высота) 5 и 12, то оба варианта подходят. В школьной практике часто выбирается меньший радиус или высота, но без уточнения оба ответа верны. Для однозначности, если высота меньше радиуса, то это 5 и 12, объем 240π. Если радиус меньше высоты, то 12 и 5, объем 100π. Предположим, что r=5, h=12.

Ответ: \( 100\pi \) см³ (или \( 240\pi \) см³).