6. Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324π см³. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Решение:

Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

По условию \( h = 12 \) см, \( V = 324\pi \) см³.

Найдём радиус основания \( r \):

\( 324\pi = \frac{1}{3}\pi r^2 12 \)

\( 324 = 4 r^2 \)

\( r^2 = \frac{324}{4} = 81 \)

\( r = 9 \) см (так как радиус положительный).

Теперь найдём образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора: \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).

\( l = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \) см.

Развёртка боковой поверхности конуса — это сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса \( l \). Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса \( C = 2\pi r \).

Длина дуги сектора \( C = 2\pi 9 = 18\pi \) см.

Длина дуги сектора также вычисляется по формуле \( C = \frac{\alpha}{360°} 2\pi l \), где \( \alpha \) — центральный угол сектора.

Приравниваем два выражения для длины дуги:

\( 18\pi = \frac{\alpha}{360°} 2\pi 15 \)

\( 18 = \frac{\alpha}{360°} 30 \)

\( \alpha = \frac{18 360°}{30} = \frac{18 12°}{1} = 216° \).

Ответ: \( 216° \).