4. Отрезки PN и GR пересекаются в их середине C. Докажите, что GP || NR.

Аналогично задаче 1. Так как PN и GR пересекаются в середине C, то PC = CN и GC = CR. Рассмотрим треугольники \(\triangle GPC\) и \(\triangle NRC\). У них PC = CN, GC = CR, и \(\angle GPC = \angle NRC\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle GPC = \triangle NRC\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что \(\angle PGC = \angle CNR\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых GP, NR и секущей GR. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, GP || NR.