1. Отрезки HM и AB пересекаются в их середине C. Докажите, что AM || BH.

Чтобы доказать, что AM || BH, нужно показать, что углы, образованные отрезками AM, BH и секущей, равны. Так как HM и AB пересекаются в середине C, то AC = CB и HC = CM. Рассмотрим треугольники \(\triangle ACM\) и \(\triangle BCH\). У них AC = CB, HC = CM, и \(\angle ACM = \angle BCH\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle ACM = \triangle BCH\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что \(\angle CAM = \angle CBH\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AM, BH и секущей AB. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AM || BH.