Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а её периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD.
• Основания: a = 14, b = 26.
• Периметр P = 60.

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]
   где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.
2. Нам известны основания, но нет высоты. Для нахождения высоты нам понадобится длина боковой стороны.
3. Периметр трапеции — это сумма длин всех сторон:
   \[ P = a + b + c + d \]
   где $$c$$ и $$d$$ — боковые стороны.
4. Так как трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $$c = d$$.
5. Подставим известные значения в формулу периметра:
   \[ 60 = 14 + 26 + c + c \]
   \[ 60 = 40 + 2c \]
6. Найдем длину боковой стороны $$c$$:
   \[ 2c = 60 - 40 \]
   \[ 2c = 20 \]
   \[ c = 10 \]
7. Итак, длина каждой боковой стороны равна 10.
8. Теперь найдем высоту трапеции. Проведем две высоты из вершин меньшего основания (14) к большему основанию (26).
9. Эти высоты разделят большее основание на три отрезка. Средний отрезок будет равен меньшему основанию (14). Два крайних отрезка будут равны между собой.
10. Длина каждого крайнего отрезка равна:
    \[ \frac{b - a}{2} = \frac{26 - 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
11. Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой, боковой стороной и крайним отрезком большего основания.
12. В этом прямоугольном треугольнике:
    
    • Гипотенуза = боковая сторона = 10.
    • Один катет = крайний отрезок = 6.
    • Другой катет = высота ($$h$$).
13. Найдем высоту по теореме Пифагора:
    \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \]
    \[ h^2 + 36 = 100 \]
    \[ h^2 = 100 - 36 \]
    \[ h^2 = 64 \]
    \[ h = \sqrt{64} = 8 \]
14. Теперь, когда мы знаем высоту (h=8) и основания (a=14, b=26), мы можем найти площадь трапеции:
    \[ S = \frac{14+26}{2} \times 8 \]
    \[ S = \frac{40}{2} \times 8 \]
    \[ S = 20 \times 8 \]
    \[ S = 160 \]

Ответ: 160