Основания прямоугольной трапеции равны 49 и 19. Её площадь равна 340√3. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD.
• Основания: a = 49, b = 19.
• Площадь S = 340√3.

Найти: Острый угол трапеции (в градусах).

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]
   где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.
2. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой. Обозначим эту высоту как $$h$$.
3. Подставим известные значения в формулу площади:
   \[ 340\sqrt{3} = \frac{49+19}{2} \times h \]
   \[ 340\sqrt{3} = \frac{68}{2} \times h \]
   \[ 340\sqrt{3} = 34 \times h \]
4. Найдем высоту:
   \[ h = \frac{340\sqrt{3}}{34} \]
   \[ h = 10\sqrt{3} \]
5. Теперь рассмотрим другую боковую сторону. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота будет равна $$10\text{\sqrt{3}}$$.
6. Разность оснований равна:
   \[ 49 - 19 = 30 \]
7. Эта разность равна проекции боковой стороны на большее основание.
8. У нас есть прямоугольный треугольник, где:
   
   • Один катет (высота) = $$10\sqrt{3}$$.
   • Другой катет (проекция) = 30.
   • Гипотенуза — это искомая боковая сторона.
9. Острый угол трапеции — это угол при большем основании, прилежащий к этой боковой стороне. Обозначим этот угол как α (альфа).
10. В этом прямоугольном треугольнике мы можем найти тангенс угла α:
    \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{\text{разность оснований}} \]
    \[ \tan(\alpha) = \frac{10\sqrt{3}}{30} \]
    \[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
11. Угол, тангенс которого равен $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$, равен 30°.

Ответ: 30