Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 8, BC = 3, CD = 4 и ∠D=30°.

Дано:

• Трапеция ABCD.
• Основания: AD = 8, BC = 3.
• Боковая сторона: CD = 4.
• Угол ∠D = 30°.

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]
   где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.
2. Нам известны основания (a=8, b=3) и одна боковая сторона (CD=4) и угол при ней (∠D=30°).
3. Чтобы найти площадь, нам нужна высота трапеции. Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Обозначим точку пересечения как H.
4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник CHD.
5. В этом треугольнике:
   
   • Гипотенуза CD = 4.
   • Угол ∠D = 30°.
   • Катет CH — это высота трапеции ($$h$$).
6. Мы можем найти высоту, используя синус угла D:
   \[ \sin(D) = \frac{CH}{CD} \]
   \[ \sin(30°) = \frac{h}{4} \]
7. Значение синуса 30° равно 1/2:
   \[ \frac{1}{2} = \frac{h}{4} \]
8. Решим для h:
   \[ h = 4 \times \frac{1}{2} \]
   \[ h = 2 \]
9. Теперь, когда мы знаем высоту (h=2) и основания (a=8, b=3), мы можем найти площадь трапеции:
   \[ S = \frac{AD+BC}{2} \times h \]
   \[ S = \frac{8+3}{2} \times 2 \]
   \[ S = \frac{11}{2} \times 2 \]
   \[ S = 11 \]

Ответ: 11