Определите степень многочлена (x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)(x - 1) - x²(x² + 1)(x² - 1) после преобразования его к стандартному виду.

Решение:

Сначала преобразуем первое произведение:

\( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1) \)

\( = x(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - 1(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \)

\( = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \)

\( = x^6 - 1 \)

Теперь преобразуем второе произведение:

\( x^2(x^2 + 1)(x^2 - 1) \)

Используем формулу разности квадратов: \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \). Здесь \( a = x^2 \) и \( b = 1 \).

\( (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1 \)

Теперь умножим на \( x^2 \):

\( x^2(x^4 - 1) = x^6 - x^2 \)

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\( (x^6 - 1) - (x^6 - x^2) \)

\( = x^6 - 1 - x^6 + x^2 \)

\( = x^2 - 1 \)

Полученный многочлен в стандартном виде – \( x^2 - 1 \). Наибольшая степень переменной \( x \) равна 2.

Ответ: 2.