25. Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на первой окружности, точки $$C$$ и $$D$$ – на второй. При этом $$AC$$ и $$BD$$ – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$.

**Решение:** 1. **Обозначения:** * $$r_1 = 45$$ (радиус первой окружности) * $$r_2 = 55$$ (радиус второй окружности) * $$O_1$$ и $$O_2$$ – центры первой и второй окружностей соответственно. 2. **Свойства касательных:** Т.к. $$AC$$ и $$BD$$ – общие касательные, то $$O_1A \perp AC$$ и $$O_2C \perp AC$$, а также $$O_1B \perp BD$$ и $$O_2D \perp BD$$. 3. **Расстояние между центрами:** $$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 45 + 55 = 100$$ 4. **Построения:** Проведем прямые $$O_1X || AC$$ и $$O_1Y || BD$$, где $$X$$ лежит на $$O_2C$$, а $$Y$$ лежит на $$O_2D$$. Тогда $$O_1XO_2C$$ и $$O_1YO_2D$$ – прямоугольники. 5. **Найдем длины отрезков $$O_2X$$ и $$O_2Y$$:** $$O_2X = |r_2 - r_1| = |55 - 45| = 10$$ 6. **Найдем расстояние $$AC$$ и $$BD$$ (длины общих касательных):** Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle O_1XO_2$$. По теореме Пифагора: $$O_1O_2^2 = O_1X^2 + O_2X^2$$ $$100^2 = O_1X^2 + 10^2$$ $$O_1X^2 = 10000 - 100 = 9900$$ $$O_1X = \sqrt{9900} = 30\sqrt{11}$$ Следовательно, $$AC = BD = 30\sqrt{11}$$ 7. **Расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$:** Пусть $$h_1$$ и $$h_2$$ – расстояния от $$O_1$$ до $$AB$$ и от $$O_2$$ до $$CD$$ соответственно. Расстояние между $$AB$$ и $$CD$$ равно $$h_1 + h_2$$. Для нахождения $$h_1$$ и $$h_2$$ можно воспользоваться подобием треугольников. Однако, задача сводится к вычислению высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу. Пусть $$h$$ - расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$. Тогда $$h = r_1 + r_2 = 45 + 55 = 100$$. Прямые $$AB$$ и $$CD$$ лежат по разные стороны от линии центров, следовательно расстояние равно сумме радиусов, то есть $$45+55 = 100$$ **Ответ:** 100