24. Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$P$$ и $$Q$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$BP$$ и $$DQ$$ равны.

**Доказательство:** 1. **Свойства параллелограмма:** * $$AB || CD$$ * $$AB = CD$$ * $$AO = OC$$ (диагонали делятся пополам в точке пересечения) * $$\angle BAO = \angle DCO$$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AC$$) * $$\angle ABO = \angle CDO$$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$BD$$) 2. **Равенство углов:** * $$\angle AOP = \angle COQ$$ (вертикальные углы) 3. **Рассмотрим треугольники $$\triangle AOP$$ и $$\triangle COQ$$:** * $$AO = OC$$ * $$\angle AOP = \angle COQ$$ * $$\angle PAO = \angle QCO$$ (т.к. $$\angle BAO = \angle DCO$$) Следовательно, $$\triangle AOP = \triangle COQ$$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 4. **Равенство сторон:** Из равенства треугольников следует, что $$AP = CQ$$. 5. **Выразим $$BP$$ и $$DQ$$ через стороны параллелограмма:** $$BP = AB - AP$$ $$DQ = CD - CQ$$ 6. **Доказательство равенства $$BP$$ и $$DQ$$:** Так как $$AB = CD$$ и $$AP = CQ$$, то: $$BP = AB - AP = CD - CQ = DQ$$ Следовательно, $$BP = DQ$$. **Что и требовалось доказать.**