554 Образующая конуса равна 1, а радиус основания равен г. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.

Ответ: а) \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\); б) \(\frac{l^2\sqrt{2}}{4}\)

1. Шаг 1: определим хорду основания. Пусть \(\alpha\) - угол дуги, стягиваемой хордой основания. Тогда хорда основания равна: \[a = 2r \sin(\frac{\alpha}{2})\]
2. Шаг 2: найдем высоту треугольника сечения. Высота треугольника сечения равна: \[h = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (r \sin(\frac{\alpha}{2}))^2}\]
3. Шаг 3: найдем площадь сечения. Площадь сечения равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2r \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \sqrt{l^2 - (r \sin(\frac{\alpha}{2}))^2}\]
4. Шаг 4: подставим значения углов:
   • а) \(\alpha = 60°\): \[S = \frac{1}{2} \cdot 2r \sin(30°) \cdot \sqrt{l^2 - (r \sin(30°))^2} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{l^2 - (r \cdot \frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}\]
   • б) \(\alpha = 90°\): \[S = \frac{1}{2} \cdot 2r \sin(45°) \cdot \sqrt{l^2 - (r \sin(45°))^2} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{l^2 - (r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{l^2\sqrt{2}}{4}\]

Ответ: а) \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\); б) \(\frac{l^2\sqrt{2}}{4}\)