49 Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

1. Пусть $$H$$ - высота конуса, $$R$$ - радиус основания конуса, $$h$$ - расстояние от вершины до плоскости сечения, $$r$$ - радиус сечения.

2. Площадь основания конуса: $$S_{осн} = \pi R^2$$.

Площадь сечения: $$S_{сеч} = \pi r^2$$.

3. Из подобия треугольников (образованных высотой и радиусом):

$$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$$, следовательно, $$r = \frac{h}{H}R$$.

4. Тогда площадь сечения:

$$S_{сеч} = \pi (\frac{h}{H}R)^2 = \pi \frac{h^2}{H^2} R^2 = \frac{h^2}{H^2} S_{осн}$$.

а) Площадь сечения равна половине площади основания: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} S_{осн}$$.

$$\frac{1}{2} S_{осн} = \frac{h^2}{H^2} S_{осн}$$, следовательно, $$\frac{1}{2} = \frac{h^2}{H^2}$$, откуда $$h = \frac{H}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$$.

б) Площадь сечения равна четверти площади основания: $$S_{сеч} = \frac{1}{4} S_{осн}$$.

$$\frac{1}{4} S_{осн} = \frac{h^2}{H^2} S_{осн}$$, следовательно, $$\frac{1}{4} = \frac{h^2}{H^2}$$, откуда $$h = \frac{H}{\sqrt{4}} = \frac{H}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ дм}$$.

Ответ: a) $$4\sqrt{2} \text{ дм}$$, б) 4 дм