736. Не производя вычислений по формуле корней квадратного уравнения, определите знаки корней уравнения: a) x² – 17x + 4 = 0; б) x² + 20x + 5 = 0; в) x² + 30x – 1 = 0; г) x² – 25x – 2 = 0; д) 3x² – 5x + 2 = 0; e) 2x² + 9x + 3 = 0; ж) 5x² + 10x − 4 = 0; з) 1/6x² − 11x – 8 = 0.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение $$x^2+bx+c=0$$. Тогда по теореме Виета:

1. $$x_1+x_2=-b$$
2. $$x_1 \cdot x_2 = c$$

Нам надо определить только знаки корней.

1. a) $$x^2-17x+4=0$$, $$b=-17$$, $$c=4$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=17\\x_1 \cdot x_2 = 4\end{cases}$$

   Т.к. сумма и произведение положительны, то корни положительны: $$x_1>0, x_2>0$$

2. б) $$x^2+20x+5=0$$, $$b=20$$, $$c=5$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=-20\\x_1 \cdot x_2 = 5\end{cases}$$

   Т.к. произведение положительно, а сумма отрицательна, то корни отрицательны: $$x_1<0, x_2<0$$

3. в) $$x^2+30x-1=0$$, $$b=30$$, $$c=-1$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=-30\\x_1 \cdot x_2 = -1\end{cases}$$

   Т.к. произведение отрицательно, то корни разных знаков, при этом $$|x_1|<|x_2|$$. Значит, $$x_1>0, x_2<0$$

4. г) $$x^2-25x-2=0$$, $$b=-25$$, $$c=-2$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=25\\x_1 \cdot x_2 = -2\end{cases}$$

   Т.к. произведение отрицательно, то корни разных знаков, при этом $$|x_1|>|x_2|$$. Значит, $$x_1>0, x_2<0$$

5. д) $$3x^2-5x+2=0$$, $$b=-\frac{5}{3}$$, $$c=\frac{2}{3}$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=\frac{5}{3}\\x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}\end{cases}$$

   Т.к. сумма и произведение положительны, то корни положительны: $$x_1>0, x_2>0$$

6. е) $$2x^2+9x+3=0$$, $$b=\frac{9}{2}$$, $$c=\frac{3}{2}$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=-\frac{9}{2}\\x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}\end{cases}$$

   Т.к. произведение положительно, а сумма отрицательна, то корни отрицательны: $$x_1<0, x_2<0$$

7. ж) $$5x^2+10x-4=0$$, $$b=2$$, $$c=-\frac{4}{5}$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=-2\\x_1 \cdot x_2 = -\frac{4}{5}\end{cases}$$

   Т.к. произведение отрицательно, то корни разных знаков, при этом $$|x_1|<|x_2|$$. Значит, $$x_1>0, x_2<0$$

8. з) $$\frac{1}{6}x^2-11x-8=0$$, $$b=-66$$, $$c=-48$$

   $$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=66\\x_1 \cdot x_2 = -48\end{cases}$$

   Т.к. произведение отрицательно, то корни разных знаков, при этом $$|x_1|>|x_2|$$. Значит, $$x_1>0, x_2<0$$

Ответ:

1. a) $$x_1>0, x_2>0$$
2. б) $$x_1<0, x_2<0$$
3. в) $$x_1>0, x_2<0$$
4. г) $$x_1>0, x_2<0$$
5. д) $$x_1>0, x_2>0$$
6. е) $$x_1<0, x_2<0$$
7. ж) $$x_1>0, x_2<0$$
8. з) $$x_1>0, x_2<0$$