5. Найти вероятность того, что при 9 испытаниях событие наступит ровно 5 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

\( P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \), где: * \( n \) – количество испытаний, * \( k \) – количество успехов, * \( p \) – вероятность успеха в одном испытании, * \( C_n^k \) – количество сочетаний из \( n \) по \( k \). В данной задаче: * \( n = 9 \) * \( k = 5 \) * \( p = 0.2 \) Сначала найдем \( C_9^5 \): \[ C_9^5 = \frac{9!}{5!(9 - 5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \] Теперь подставим значения в формулу Бернулли: \[ P(X = 5) = 126 \cdot (0.2)^5 \cdot (1 - 0.2)^{9 - 5} = 126 \cdot (0.2)^5 \cdot (0.8)^4 \] Вычислим: \[ P(X = 5) = 126 \cdot 0.00032 \cdot 0.4096 = 126 \cdot 0.000131072 \approx 0.016515 \] Ответ: Вероятность того, что при 9 испытаниях событие наступит ровно 5 раз, равна приблизительно 0.016515.