Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + x + 6, y = 0.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

1. Найдем точки пересечения параболы \( y = -x^2 + x + 6 \) с осью \( Ox \) (где \( y = 0 \)):
   \( -x^2 + x + 6 = 0 \)
   \( x^2 - x - 6 = 0 \)
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -6 \).
   Корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \).
2. Определим знак функции на интервале \( [-2, 3] \). Возьмем, например, \( x = 0 \): \( y = -(0)^2 + 0 + 6 = 6 \). Так как \( y > 0 \) на этом интервале, то \( |f(x)| = f(x) \).
3. Вычислим площадь, используя определенный интеграл:
   \( S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx \)
   \( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-2}^{3} \)
   \( S = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 · 3 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 · (-2) \right) \)
   \( S = \left( -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18 \right) - \left( -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} - 12 \right) \)
   \( S = \left( -9 + 4.5 + 18 \right) - \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) \)
   \( S = 13.5 - \left( \frac{8}{3} - 10 \right) \)
   \( S = 13.5 - \frac{8}{3} + 10 \)
   \( S = 23.5 - \frac{8}{3} \)
   \( S = \frac{47}{2} - \frac{8}{3} = \frac{141 - 16}{6} = \frac{125}{6} \).

Ответ: \( \frac{125}{6} \).