Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t^3-t^2-2t+5, где x — расстояние от точки начала движения в метрах, t — время в секундах. В какой самый поздний момент времени её скорость составит 2 м/с? Ответ дайте в секундах.

Решение:

Скорость точки — это первая производная от её положения по времени: \( v(t) = x'(t) \).

1. Найдем производную функции положения: \( x(t) = t^3 - t^2 - 2t + 5 \).
   \( v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - 2t + 5) = 3t^2 - 2t - 2 \).
2. Приравняем скорость к заданному значению 2 м/с: \( 3t^2 - 2t - 2 = 2 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение: \( 3t^2 - 2t - 4 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 4 + 48 = 52 \).
5. Найдем корни уравнения:
   \( t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3} \).
6. Так как время \( t \) должно быть неотрицательным, выберем положительный корень: \( t = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \).

Ответ: \( \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \) с.