На машиностроительном заводе разработали новый тип деталей. Из 575 кг металла делают на 3 детали нового типа больше, чем деталей старого типа делали из 900 кг. Каковы массы деталей нового и старого типов, если 2 детали нового типа по массе меньше одной стали старого типа на 0.1 т?

Решение:

Обозначим:

• \( m_н \) — масса одной детали нового типа (в кг).
• \( m_с \) — масса одной детали старого типа (в кг).
• \( N_н \) — количество деталей нового типа, сделанных из 575 кг.
• \( N_с \) — количество деталей старого типа, сделанных из 900 кг.

Из условия имеем:

1. \( N_н = \frac{575}{m_н} \)
2. \( N_с = \frac{900}{m_с} \)
3. \( N_н = N_с + 3 \)
4. \( 2m_н = m_с - 0.1 \) (где 0.1 т = 100 кг).

Подставим (1) и (2) в (3):

\( \frac{575}{m_н} = \frac{900}{m_с} + 3 \)

Из (4) выразим \( m_с \): \( m_с = 2m_н + 100 \).

Подставим \( m_с \) в уравнение:

\( \frac{575}{m_н} = \frac{900}{2m_н + 100} + 3 \)

Умножим обе части на \( m_н(2m_н + 100) \) для избавления от знаменателей:

\( 575(2m_н + 100) = 900m_н + 3m_н(2m_н + 100) \)

\( 1150m_н + 57500 = 900m_н + 6m_н^2 + 300m_н \)

\( 1150m_н + 57500 = 1200m_н + 6m_н^2 \)

Перенесем все в правую часть:

\( 6m_н^2 + 1200m_н - 1150m_н - 57500 = 0 \)

\( 6m_н^2 + 50m_н - 57500 = 0 \)

Разделим на 2:

\( 3m_н^2 + 25m_н - 28750 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 · 3 · (-28750) = 625 + 12 · 28750 = 625 + 345000 = 345625 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{345625} = 587.9 \) (приблизительно, но можно проверить, что \( 587.9^2 \) близко к этому числу. Если взять \( 587.5 \), то \( 587.5^2 = 345156.25 \). Давайте пересчитаем.)

Проверим, является ли 345625 полным квадратом. Оканчивается на 25, значит, корень оканчивается на 5. \( 500^2 = 250000 \), \( 600^2 = 360000 \). Попробуем \( 585^2 = 342225 \), \( 595^2 = 354025 \). Кажется, я ошибся в расчетах или условие некорректно. Давайте предположим, что \( m_н \) — это целое число или простое число, которое легко делится.

Попробуем подставить известные значения, например, если \( m_н = 25 \) кг, то \( N_н = 575 / 25 = 23 \).

Тогда \( m_с = 2 · 25 + 100 = 50 + 100 = 150 \) кг.

\( N_с = 900 / 150 = 6 \).

Проверим условие \( N_н = N_с + 3 \): \( 23 = 6 + 3 \) — неверно.

Попробуем, если \( m_н = 50 \) кг, то \( N_н = 575 / 50 = 11.5 \) (не целое, значит, не подходит).

Попробуем, если \( m_н = 10 \) кг, то \( N_н = 575 / 10 = 57.5 \) (не подходит).

Пересчитаем дискриминант:

\( D = 25^2 - 4 · 3 · (-28750) = 625 + 345000 = 345625 \).

\( \sqrt{345625} = 587.9 \). Действительно, не целое. Давайте перепроверим условие: «2 детали нового типа по массе меньше одной стали старого типа на 0.1 т». 0.1 т = 100 кг. Значит \( m_с - 2m_н = 100 \) или \( m_с = 2m_н + 100 \). Это правильно.

Возможно, условие задачи предполагает, что \( N_н \) и \( N_с \) могут быть нецелыми, но это маловероятно для производства деталей.

Давайте предположим, что \( m_н \) является одним из делителей 575. Делители 575: 1, 5, 23, 25, 115, 575.

Проверим \( m_н = 25 \) еще раз.

\( m_н = 25 \) кг, \( N_н = 575 / 25 = 23 \).

\( m_с = 2 · 25 + 100 = 150 \) кг.

\( N_с = 900 / 150 = 6 \).

\( N_н = N_с + 3 \) -> \( 23 = 6 + 3 = 9 \) — не подходит.

Проверим \( m_н = 115 \) кг.

\( N_н = 575 / 115 = 5 \).

\( m_с = 2 · 115 + 100 = 230 + 100 = 330 \) кг.

\( N_с = 900 / 330 = 90 / 33 = 30 / 11 \) (не целое).

Попробуем выразить \( m_н \) через \( m_с \): \( m_н = \frac{m_с - 100}{2} \).

\( \frac{575}{(m_с - 100)/2} = \frac{900}{m_с} + 3 \)

\( \frac{1150}{m_с - 100} = \frac{900}{m_с} + 3 \)

\( 1150m_с = 900(m_с - 100) + 3m_с(m_с - 100) \)

\( 1150m_с = 900m_с - 90000 + 3m_с^2 - 300m_с \)

\( 1150m_с = 600m_с - 90000 + 3m_с^2 \)

\( 3m_с^2 + 600m_с - 1150m_с - 90000 = 0 \)

\( 3m_с^2 - 550m_с - 90000 = 0 \)

\( D = (-550)^2 - 4 · 3 · (-90000) = 302500 + 12 · 90000 = 302500 + 1080000 = 1382500 \).

\( \sqrt{1382500} = 1175.8 \) (тоже не целое).

Есть вероятность, что в условии задачи ошибка. Но если продолжить с \( m_н = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \) из предыдущей задачи, то это было бы нелогично.

Если предположить, что \( N_н \) и \( N_с \) — это количества, которые можно произвести, то они должны быть целыми.

Попробуем найти делители 900, для \( m_с \).

Если \( m_с = 150 \), то \( N_с = 6 \). \( m_н = (150 - 100) / 2 = 25 \). \( N_н = 575 / 25 = 23 \). \( 23 ≠ 6 + 3 \).

Если \( m_с = 300 \), то \( N_с = 3 \). \( m_н = (300 - 100) / 2 = 100 \). \( N_н = 575 / 100 = 5.75 \) (не целое).

Если \( m_с = 180 \), то \( N_с = 900 / 180 = 5 \). \( m_н = (180 - 100) / 2 = 40 \). \( N_н = 575 / 40 = 14.375 \) (не целое).

Если \( m_с = 225 \), то \( N_с = 900 / 225 = 4 \). \( m_н = (225 - 100) / 2 = 62.5 \) (не целое).

Перепроверим условие: «2 детали нового типа по массе меньше одной стали старого типа на 0.1 т».

\( m_с - 2m_н = 100 \) (кг)

\( N_н = N_с + 3 \)

\( 575 / m_н = 900 / m_с + 3 \)

\( 575 / m_н = 900 / (2m_н + 100) + 3 \)

\( 575 · (2m_н + 100) = 900 m_н + 3 m_н (2m_н + 100) \)

\( 1150 m_н + 57500 = 900 m_н + 6m_н^2 + 300 m_н \)

\( 6m_н^2 + (900+300-1150) m_н - 57500 = 0 \)

\( 6m_н^2 + 50m_н - 57500 = 0 \)

\( 3m_н^2 + 25m_н - 28750 = 0 \).

\( D = 25^2 - 4(3)(-28750) = 625 + 345000 = 345625 \).

\( m_н = \frac{-25 \pm \sqrt{345625}}{2 · 3} = \frac{-25 \pm 587.9}{6} \).

Положительный корень: \( m_н = \frac{-25 + 587.9}{6} = \frac{562.9}{6} \approx 93.8 \) кг.

Тогда \( m_с = 2 · 93.8 + 100 = 187.6 + 100 = 287.6 \) кг.

\( N_н = 575 / 93.8 \approx 6.13 \)

\( N_с = 900 / 287.6 \approx 3.13 \)

\( N_н = N_с + 3 \) -> \( 6.13 \approx 3.13 + 3 \) -> \( 6.13 \approx 6.13 \).

Таким образом, значения массы приближенные, но условие выполняется.

Ответ: масса детали нового типа примерно 93.8 кг, масса детали старого типа примерно 287.6 кг.