Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠САД = 30°, СД = 15см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нём ∠ADC = 90°, CD = 15 см. Из условия ∠CAD = 30°. Тогда ∠ACD = 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AD = CD × $$ \sqrt{3} $$ = $$15\sqrt{3}$$ см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник CAD. По теореме Пифагора найдем AC:

$$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(15\sqrt{3})^2 + 15^2} = \sqrt{15^2(3 + 1)} = 15\sqrt{4} = 15 \cdot 2 = 30$$

Диагонали прямоугольника равны, значит AC = BD = 30 см.

Ответ: AC = 30 см, BD = 30 см.