652. Найдите сумму первых п членов геометрической прогрессии: a) 1; 3; 3²; ... ; 6) 2; 2²; 2³; ... ; в) 1/2; 1/4; 1/8; ... ; г) 1; -х; х²; ..., где х ≠ -1; д) 1; х²; х⁴; ... , где х ≠ ±1; e) 1; -x³; x⁶; ..., где х ≠ -1.

Ответ: a) Sₙ = (1 - 3ⁿ) / (-2); б) Sₙ = 2 * (1 - 2ⁿ) / (-1); в) Sₙ = (1 - (1/2)ⁿ) ; г) Sₙ = (1 - (-x)ⁿ) / (1 + x); д) Sₙ = (1 - x^(2n)) / (1 - x²); е) Sₙ = (1 - (-x³)ⁿ) / (1 + x³)

Решение:

a) Дано: b₁ = 1, q = 3. Найти: Sₙ Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) = 1 * (1 - 3ⁿ) / (1 - 3) = (1 - 3ⁿ) / (-2) Sₙ = (1 - 3ⁿ) / (-2)

б) Дано: b₁ = 2, q = 2. Найти: Sₙ Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) = 2 * (1 - 2ⁿ) / (1 - 2) = 2 * (1 - 2ⁿ) / (-1) Sₙ = 2 * (1 - 2ⁿ) / (-1)

в) Дано: b₁ = 1/2, q = 1/2. Найти: Sₙ Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) = 1/2 * (1 - (1/2)ⁿ) / (1 - 1/2) = 1/2 * (1 - (1/2)ⁿ) / (1/2) = (1 - (1/2)ⁿ) Sₙ = (1 - (1/2)ⁿ)

г) Дано: b₁ = 1, q = -x. Найти: Sₙ Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) = 1 * (1 - (-x)ⁿ) / (1 - (-x)) = (1 - (-x)ⁿ) / (1 + x) Sₙ = (1 - (-x)ⁿ) / (1 + x)

д) Дано: b₁ = 1, q = x². Найти: Sₙ Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) = 1 * (1 - (x²)ⁿ) / (1 - x²) = (1 - x^(2n)) / (1 - x²) Sₙ = (1 - x^(2n)) / (1 - x²)

e) Дано: b₁ = 1, q = -x³. Найти: Sₙ Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) = 1 * (1 - (-x³)ⁿ) / (1 - (-x³)) = (1 - (-x³)ⁿ) / (1 + x³) Sₙ = (1 - (-x³)ⁿ) / (1 + x³)

Ответ: a) Sₙ = (1 - 3ⁿ) / (-2); б) Sₙ = 2 * (1 - 2ⁿ) / (-1); в) Sₙ = (1 - (1/2)ⁿ) ; г) Sₙ = (1 - (-x)ⁿ) / (1 + x); д) Sₙ = (1 - x^(2n)) / (1 - x²); е) Sₙ = (1 - (-x³)ⁿ) / (1 + x³)