651. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (bₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму пер- вых пее членов, если: a) bn = 0,2 * 5ⁿ; 6) bn = 3 * 2ⁿ⁻¹; B) bn = 3¹ + n; г) bn = 2ⁿ + 2. 1) Обсудите ход доказательства. дания о и г), и выполните их. 2) задания а) и в), а кто за- 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

a) bₙ = 0.2 * 5ⁿ

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{0.2 \cdot 5^{n+1}}{0.2 \cdot 5^n} = 5\]

Так как отношение постоянно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 5.

Сумма n первых членов:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{0.2 \cdot 5(1 - 5^n)}{1 - 5} = \frac{1(1 - 5^n)}{-4} = \frac{5^n - 1}{4}\]

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией, Sₙ = (5ⁿ - 1) / 4

б) bₙ = 3 * 2ⁿ⁻¹

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^{(n+1)-1}}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2\]

Так как отношение постоянно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 2.

Сумма n первых членов:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{3(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 2^n)}{-1} = 3(2^n - 1)\]

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией, Sₙ = 3(2ⁿ - 1)

в) bₙ = 3¹ + n = 3 + n

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 + (n+1)}{3 + n} = \frac{4 + n}{3 + n}\]

Так как отношение зависит от n, последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: Последовательность не является геометрической прогрессией.

г) bₙ = 2ⁿ + 2

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1} + 2}{2^n + 2}\]

Так как отношение зависит от n, последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: Последовательность не является геометрической прогрессией.