620. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если: а) b₇ = 72,9, q = 1,5; б) b₅ = 16/9, q = 2/3; в) b₃ = 64, q = 1/2; г) b₄ = 81, q = -1/3. 621. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (хₙ), если: а) х₅ = 1 1/9, q = 1/3; б) х₄ = 121,5, q = -3. 622. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый равен 162. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии, если известно, что её члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётной — положительны.

Решение 620

а)

Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии воспользуемся формулой суммы n первых членов:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Сначала найдем первый член прогрессии b₁. Известно, что b₇ = 72,9 и q = 1,5. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Тогда:

\[ b_7 = b_1 \cdot q^6 \] \[ 72.9 = b_1 \cdot (1.5)^6 \] \[ b_1 = \frac{72.9}{(1.5)^6} = \frac{72.9}{11.390625} = 6.4 \]

Теперь найдем сумму первых семи членов:

\[ S_7 = \frac{6.4((1.5)^7 - 1)}{1.5 - 1} = \frac{6.4(17.0859375 - 1)}{0.5} = \frac{6.4 \cdot 16.0859375}{0.5} = 205.9 \]

Ответ: S₇ = 205.9

б)

Известно, что b₅ = 16/9 и q = 2/3. Найдем b₁:

\[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \] \[ \frac{16}{9} = b_1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \] \[ \frac{16}{9} = b_1 \cdot \frac{16}{81} \] \[ b_1 = \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{16} = 9 \]

Теперь найдем сумму первых семи членов:

\[ S_7 = \frac{9((\frac{2}{3})^7 - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{9(\frac{128}{2187} - 1)}{-\frac{1}{3}} = -27\left(\frac{128}{2187} - 1\right) = -27\left(\frac{128 - 2187}{2187}\right) = -27 \cdot \frac{-2059}{2187} = \frac{2059}{81} \approx 25.42 \]

Ответ: S₇ = 2059/81 ≈ 25.42

в)

Известно, что b₃ = 64 и q = 1/2. Найдем b₁:

\[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \] \[ 64 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ 64 = b_1 \cdot \frac{1}{4} \] \[ b_1 = 64 \cdot 4 = 256 \]

Теперь найдем сумму первых семи членов:

\[ S_7 = \frac{256((\frac{1}{2})^7 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{256(\frac{1}{128} - 1)}{-\frac{1}{2}} = -512\left(\frac{1}{128} - 1\right) = -512\left(\frac{1 - 128}{128}\right) = -512 \cdot \frac{-127}{128} = 4 \cdot 127 = 508 \]

Ответ: S₇ = 508

г)

Известно, что b₄ = 81 и q = -1/3. Найдем b₁:

\[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \] \[ 81 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \] \[ 81 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) \] \[ b_1 = 81 \cdot (-27) = -2187 \]

Теперь найдем сумму первых семи членов:

\[ S_7 = \frac{-2187((-\frac{1}{3})^7 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{-2187(-\frac{1}{2187} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{-2187(-\frac{1 + 2187}{2187})}{-\frac{4}{3}} = \frac{-(-\frac{2188}{2187})}{- \frac{4}{3}} \cdot (-2187) = \frac{\frac{2188}{2187}}{ \frac{4}{3}} \cdot (-2187) = \frac{2188 \cdot 3}{4} = \frac{6564}{4} = 1641 \] \[ \frac{1641}{-2187} = \frac{2188}{2187} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2188 \cdot 3}{-4 \cdot 2187} \] \[ -1641 \cdot - \frac{4}{3} = (-2187)((-\frac{1}{3})^7 - 1) \]

Ошибка в решении. Сейчас все исправлю.

\[ S_7 = \frac{-2187((-\frac{1}{3})^7 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{-2187(-\frac{1}{2187} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{-2187(\frac{-1-2187}{2187})}{-\frac{4}{3}} = \frac{2188}{1} \cdot \frac{3}{-4} \] \[ = \frac{6564}{-4} = -1641 \]

Ответ: S₇ = -1641

Решение 621

а)

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии воспользуемся формулой суммы n первых членов:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Сначала найдем первый член прогрессии x₁. Известно, что x₅ = 1 1/9 = 10/9 и q = 1/3. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\[ x_n = x_1 \cdot q^{n-1} \]

Тогда:

\[ x_5 = x_1 \cdot q^4 \] \[ \frac{10}{9} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \] \[ \frac{10}{9} = x_1 \cdot \frac{1}{81} \] \[ x_1 = \frac{10}{9} \cdot 81 = 10 \cdot 9 = 90 \]

Теперь найдем сумму первых пяти членов:

\[ S_5 = \frac{90((\frac{1}{3})^5 - 1)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{90(\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{2}{3}} = \frac{90(\frac{1 - 243}{243})}{-\frac{2}{3}} = 90 \cdot \frac{-242}{243} \cdot \frac{3}{-2} = 45 \cdot \frac{242}{81} = 5 \cdot \frac{242}{9} = \frac{1210}{9} \approx 134.44 \]

Ответ: S₅ = 1210/9 ≈ 134.44

б)

Известно, что x₄ = 121,5 и q = -3. Найдем x₁:

\[ x_4 = x_1 \cdot q^3 \] \[ 121.5 = x_1 \cdot (-3)^3 \] \[ 121.5 = x_1 \cdot (-27) \] \[ x_1 = \frac{121.5}{-27} = -4.5 \]

Теперь найдем сумму первых пяти членов:

\[ S_5 = \frac{-4.5((-3)^5 - 1)}{-3 - 1} = \frac{-4.5(-243 - 1)}{-4} = \frac{-4.5(-244)}{-4} = \frac{1098}{-4} = -274.5 \]

Ответ: S₅ = -274.5

Решение 622

Известно, что b₁ = 2 и b₅ = 162. Также известно, что члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётными - положительны. Это значит, что q < 0.

Найдем q:

\[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \] \[ 162 = 2 \cdot q^4 \] \[ q^4 = 81 \]

Так как q < 0, то:

\[ q = -3 \]

Теперь найдем сумму первых шести членов:

\[ S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{2((-3)^6 - 1)}{-3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{-4} = \frac{2 \cdot 728}{-4} = \frac{1456}{-4} = -364 \]

Ответ: S₆ = -364

У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые математические задачи!