652. Найдите сумму первых п членов геометрической прогрессии: a) 1; 3; 3²; ... ; 6) 2; 2²; 2³; ... ; B) 1/2; -1/4; 1/8; ... ; г) 1; -х; х²; ... , где х ≠ -1; д) 1; х²; х⁴; ... , где х ≠ ±1; e) 1; -x³; x⁶; ... , где х ≠ -1.

a) Дано: первый член b₁ = 1, знаменатель q = 3.

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{1(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{1 - 3^n}{-2} = \frac{3^n - 1}{2}\]

Ответ: Sₙ = (3ⁿ - 1) / 2

б) Дано: первый член b₁ = 2, знаменатель q = 2.

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{2(1 - 2^n)}{-1} = 2(2^n - 1)\]

Ответ: Sₙ = 2(2ⁿ - 1)

в) Дано: первый член b₁ = 1/2, знаменатель q = -1/2.

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{3}\]

Ответ: Sₙ = (1 - (-1/2)ⁿ) / 3

г) Дано: первый член b₁ = 1, знаменатель q = -x.

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{1(1 - (-x)^n)}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}\]

Ответ: Sₙ = (1 - (-x)ⁿ) / (1 + x)

д) Дано: первый член b₁ = 1, знаменатель q = x².

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{1(1 - (x^2)^n)}{1 - x^2} = \frac{1 - x^{2n}}{1 - x^2}\]

Ответ: Sₙ = (1 - x^(2n)) / (1 - x²)

е) Дано: первый член b₁ = 1, знаменатель q = -x³.

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{1(1 - (-x^3)^n)}{1 - (-x^3)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}\]

Ответ: Sₙ = (1 - (-x³)ⁿ) / (1 + x³)