445 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС₁ = 13 см, BD = 12 см и ВС₁ = 11 см.

Пусть AB = x, BC = y, CC₁ = z. Тогда

$$AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + CC_1^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 13^2 = 169$$

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 = x^2 + y^2 = 12^2 = 144$$

$$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = y^2 + z^2 = 11^2 = 121$$

Выразим z² из третьего уравнения: z² = 121 - y²

Подставим z² во первое уравнение: x² + y² + 121 - y² = 169

x² + 121 = 169

x² = 48

x = 4√3

Подставим x² во второе уравнение: 48 + y² = 144

y² = 96

y = 4√6

Подставим y² в третье уравнение: z² = 121 - 96

z² = 25

z = 5

Объем параллелепипеда:

V = x \cdot y \cdot z = 4√3 \cdot 4√6 \cdot 5 = 16 \cdot 5 \cdot √18 = 80 \cdot 3√2 = 240√2

Ответ: $$240\sqrt{2}$$